Unesite prvi član, razliku i koliko članova želite da dobijete poslednji član i ukupan zbir aritmetičkog niza — niza u kome se svaki član povećava (ili smanjuje) za isti fiksni iznos. Prvi članovi su izlistani da na prvi pogled proverite pravilnost.
Unesite prvi član, razliku i koliko članova.
Kako radi
Aritmetički niz dodaje stalni korak, razliku d, da bi se prešlo sa jednog člana na sledeći: počevši od a₁, članovi su a₁, a₁+d, a₁+2d i tako dalje. Zato je n-ti član aₙ = a₁ + (n−1)·d — razliku dodajete (n−1) puta, ne n puta, jer je prvi član već tu.
Zbir prvih n članova je Sₙ = n ÷ 2 × (a₁ + aₙ): uparite prvi i poslednji član, pa drugi i pretposlednji, i svaki par daje isti zbir. Razlika može biti negativna (opadajući niz) ili nula (svi članovi isti). Broj članova mora biti ceo broj najmanje 1; decimalne vrednosti su dozvoljene za prvi član i razliku.
Primeri iz prakse
Sedišta u pozorištu
Red ima 20 sedišta, a svaki red iza dodaje još 2. Red 15 ima a₁₅ = 20 + 14×2 = 48 sedišta, a prvih 15 redova prima 15 ÷ 2 × (20 + 48) = 510 sedišta ukupno.
Gausov školski zbir
Sabiranje celih brojeva od 1 do 100 je aritmetički niz sa a₁ = 1, d = 1, n = 100. Zbir je 100 ÷ 2 × (1 + 100) = 5.050 — trik koji je, kako se priča, uočio mladi Gaus.
Odbrojavanje
Počevši od 100 i smanjujući za 7 na svakom koraku, niz je 100, 93, 86, … Uz d = −7, deseti član je 100 + 9×(−7) = 37.
Česta pitanja
Šta je aritmetički niz?
Niz brojeva u kome je razmak između uzastopnih članova uvek isti. Taj stalni razmak je razlika niza. 3, 7, 11, 15 je aritmetički niz sa razlikom 4.
Šta je razlika niza?
To je fiksni iznos koji se dodaje svakom članu da bi se dobio sledeći, oznaka d. Nalazi se oduzimanjem bilo kog člana od narednog: u 5, 8, 11 razlika je 8 − 5 = 3.
Koja je formula za n-ti član?
aₙ = a₁ + (n−1)·d, gde je a₁ prvi član, d razlika, a n pozicija. (n−1) je zato što je potrebno (n−1) koraka da se od prvog stigne do n-tog člana.
Kako se računa zbir?
Sₙ = n ÷ 2 × (a₁ + aₙ), broj članova puta prosek prvog i poslednjeg člana. Radi zato što se članovi simetrično uparuju u isti zbir. Isto tako, Sₙ = n ÷ 2 × (2a₁ + (n−1)d).
Može li razlika biti negativna?
Da. Negativna razlika daje opadajući niz, kao 20, 17, 14, 11 sa d = −3. Formule su iste; članovi jednostavno opadaju.
Šta ako je razlika nula?
Tada je svaki član jednak prvom, a zbir je samo n puta ta vrednost. To je važeći, mada trivijalan, aritmetički niz.
Po čemu se aritmetički niz razlikuje od geometrijskog?
Aritmetički niz na svakom koraku dodaje fiksni iznos; geometrijski množi fiksnim količnikom. 2, 5, 8, 11 je aritmetički (dodaj 3); 2, 6, 18, 54 je geometrijski (množi sa 3).
Zašto prikazujete samo prvih nekoliko članova?
Pregled navodi do dvanaest članova da potvrdite pravilnost. N-ti član i zbir se ipak računaju za celu dužinu koju unesete, čak i ako je to više hiljada članova.
Moraju li prvi član i razlika biti celi brojevi?
Ne. Mogu biti decimalni — na primer prvi član 1,5 i razlika 0,5. Samo broj članova mora biti ceo broj, jer ne može postojati deo člana.
Da li se moj unos negde šalje?
Ne. Niz se generiše i sabira u vašem pregledaču. Ništa što unesete se ne šalje niti beleži.
Srodni alati
Kalkulator NZD i NZS
Pronađite najveći zajednički delilac i najmanji zajednički sadržalac dva ili više celih brojeva. Radi u pregledaču.
Matematika i obrazovanje
Kalkulator geometrijskog niza
Nađite n-ti član i zbir geometrijskog niza iz prvog člana, količnika i dužine. Radi u pregledaču.
Matematika i obrazovanje
Kalkulator proseka
Nalepite listu brojeva za prosek (srednju vrednost), zbir, medijanu, minimum, maksimum i raspon. Radi u vašem pregledaču.
Svakodnevni kalkulatori
Kalkulator procenta
Izračunajte X% od broja, koliko je procenata jedan broj od drugog i procentualnu promenu.
Svakodnevni kalkulatori
Kalkulator Fibonačijevog niza
Nađite n-ti Fibonačijev broj tačno i izlistajte niz 1, 1, 2, 3, 5, 8… Radi u pregledaču.
Matematika i obrazovanje
CSV u JSON
Pretvorite CSV u JSON u pregledaču. Zaglavlje u ključeve, prilagođen razdvajač i opciono prepoznavanje brojeva.
Alati za programere