Unesite prvi član, količnik i koliko članova vam treba da dobijete poslednji član i zbir geometrijskog niza — niza u kome je svaki član prethodni pomnožen fiksnim količnikom. Prvih nekoliko članova je izlistano da vidite pravilnost.
Unesite prvi član, količnik i koliko članova.
Kako radi
Geometrijski niz na svakom koraku množi stalnim količnikom r: počevši od a₁, članovi su a₁, a₁·r, a₁·r² i tako dalje. N-ti član je aₙ = a₁·r^(n−1) — količnikom množite (n−1) puta, jer je prvi član već tu.
Zbir prvih n članova je Sₙ = a₁·(rⁿ−1)/(r−1) kada r nije 1, a jednostavno a₁·n kada je r jednako 1. Količnik može biti razlomak (niz koji se smanjuje), negativan (članovi menjaju znak) ili veći od 1 (brz rast). Rast sa količnikom preko 1 kroz mnogo članova može premašiti opseg brojeva, pa alat to prijavljuje umesto da prikaže beskonačnost.
Primeri iz prakse
Složeno udvostručavanje
Kultura koja se udvostručuje svakog sata počevši od 100 ćelija je geometrijska sa a₁ = 100, r = 2. Posle 8 sati (deveti član) iznosi 100·2⁸ = 25.600 ćelija.
Niz sa polovljenjem
Uz a₁ = 1 i r = 0,5, članovi 1, ½, ¼, ⅛, … sabiraju se sve bliže broju 2. Prvih pet daju zbir 1,9375, što ilustruje konvergentan geometrijski red.
Naizmenični znaci
Prvi član 3 i količnik −2 daju 3, −6, 12, −24. Negativan količnik menja znak na svakom koraku, pa je zbir ova četiri člana −15.
Česta pitanja
Šta je geometrijski niz?
Niz brojeva u kome se svaki član dobija množenjem prethodnog fiksnim brojem, količnikom. 3, 6, 12, 24 je geometrijski niz sa količnikom 2.
Šta je količnik niza?
To je stalni množilac između uzastopnih članova, oznaka r. Nalazi se deljenjem bilo kog člana prethodnim: u 5, 15, 45 količnik je 15 ÷ 5 = 3.
Koja je formula za n-ti član?
aₙ = a₁·r^(n−1), gde je a₁ prvi član, r količnik, a n pozicija. Izložilac je n−1 jer prvi član ne treba množiti.
Kako se računa zbir reda?
Sₙ = a₁·(rⁿ − 1) ÷ (r − 1) za svaki količnik različit od 1. Kada je r tačno 1, svaki član je jednak a₁, pa je zbir jednostavno a₁ × n.
Koja je razlika između geometrijskog i aritmetičkog niza?
Geometrijski niz na svakom koraku množi fiksnim količnikom; aritmetički dodaje fiksni iznos. 2, 6, 18 je geometrijski (×3); 2, 5, 8 je aritmetički (+3).
Može li količnik biti razlomak ili negativan?
Da. Količnik između −1 i 1 čini da članovi teže nuli, a negativan količnik čini da naizmenično menjaju znak. Oba slučaja rade ovde.
Šta je konvergentan geometrijski red?
Kada je veličina količnika manja od 1, beskonačan zbir se ustaljuje na konačnoj vrednosti, a₁ ÷ (1 − r). Za a₁ = 1 i r = 0,5 ta granica je 2, kojoj se parcijalni zbirovi približavaju kako dodajete članove.
Zašto veliki količnik daje grešku izvan opsega?
Količnik veći od 1 podignut na visok stepen prelazi najveći broj koji pregledač može da prikaže (oko 1,8 × 10³⁰⁸). Umesto da prikaže beskonačnost, alat vam kaže da je rezultat izvan opsega.
Da li se moj unos šalje na server?
Ne. Niz se generiše i sabira u celosti u vašem pregledaču; ništa što unesete se nigde ne šalje.
Srodni alati
Kalkulator aritmetičkog niza
Nađite n-ti član i zbir aritmetičkog niza iz prvog člana, razlike i dužine. Radi u pregledaču.
Matematika i obrazovanje
Kalkulator Fibonačijevog niza
Nađite n-ti Fibonačijev broj tačno i izlistajte niz 1, 1, 2, 3, 5, 8… Radi u pregledaču.
Matematika i obrazovanje
Kalkulator stepena
Stepenujte bilo koji broj bilo kojim izložiocem — uključujući negativne i razlomljene. Radi u pregledaču.
Matematika i obrazovanje
CSV u JSON
Pretvorite CSV u JSON u pregledaču. Zaglavlje u ključeve, prilagođen razdvajač i opciono prepoznavanje brojeva.
Alati za programere
Konverter rimskih brojeva
Pretvarajte rimske brojeve u arapske i nazad, za vrednosti od 1 do 3999. Automatski prepoznaje smer. Radi u pregledaču.
Matematika i obrazovanje
Kalkulator kvadratne jednačine
Rešite ax² + bx + c = 0 — realne ili kompleksne korene, diskriminantu i teme, uz korake. Radi u pregledaču.
Matematika i obrazovanje